Una clase de proporcionalidad
El aprendizaje-enseñanza de la proporcionalidad, es un tema para algunos difícil de exponer y lograr los aprendizajes esperados, esto se puede lograr gracias a la metodología didáctica que emplee. Cuando un tema se conoce, entiende y domina o controla es fácil de transmitir.
Preparando una clase de proporcionalidad para alumnos de 4º y 5º grado de primaria.
1. ¿Cómo profesor qué debo de saber? ¿Cuáles deben ser mis conocimientos sobre el tema?
Comprender ¿qué es una razón matemática? La razón matemática la comprendemos como la relación entre dos cantidades relacionadas, siendo una cantidad como dependiente de la otra, a lo cual denominaremos al uno de los valores independiente y al otro valor dependiente. Por ejemplo en el siguiente problema:
Si 8 kilos de patatas valen 200 pesetas, ¿Cuánto valdrán 10 kilos?[1]
200/8 = X/ 10
200 (10)/ 8 =X
X = 250
En este caso la variable independiente es el valor de un kilo de patatas, el valor dependiente será el dinero a pagar, por lo tanto la razón matemática es 200/ 8 es igual a 25.
Un segundo ejemplo: A Sofía y Pablo les tomaron una foto al lado de un árbol. Sofía sabe que su altura es 1.20 m y con una regla midió su altura en la foto encontrando que es de 4 cm. Es necesario igualar las unidades de medida para poder comparar la estatura real de Sofía y la medida con la que salió en la foto, en este caso igualamos las unidades de medidas a centímetros 120/4 esigual a 30, es decir, 4:120 se lee 4 es a 120, la razón matemática en este caso es de 30. El valor independiente es la altura de Sofía y los valores dependientes serán las medidas de su hermano y del árbol. Para saber la altura real de su hermano, Sofía mide con su regla y se da cuenta que su hermano en la foto mide 3cm por lo que:
120/4 = X/3
X= 120 (3) / 4
X= 90
La estatura de su hermano ésta en razón a la altura de Sofía. A lo cual decimos que 4:120 Cuatro es a uno veinte y tres es a noventa. y 3:90. (: Significa es a)
Un tercer ejemplo, la altura de un edificio provoca cierta sombra, mientras que otro edificio de diferente altura provocara una altura diferente; por lo tanto, la medida de la sombra dependerá de la altura del edificio, es así como la sombra se encuentra a razón de la altura del edificio.
A1/S1 = A2/A2
Con este ejemplo deducimos que la igualdad en la unidad entre dos razones se le llama proporción, donde el producto de los medios, será igual al producto de los extremos.a/b =c/d
ad=bc
Donde a y d son los valores extremos y b y c son los valores medios.
Cuando se trabaja con mapas, planos, etc., se está utilizando la noción de razón. Al decir por ejemplo que 1cm es a 1 Km en un mapa de carreteras, estamos indicando la “razón” con la que se ha hecho la reducción. A esta razón la llamamos escala donde se guarda la misma razón para todas las medidas que intervienen.
Por ejemplo, al observar la escala en un mapa vemos que dice 1:1000 m, se lee 1 cm es a 1000 m. con este dato podríamos calcular cuantos centímetros representa cierta cantidad en metros y cuantos metros representan cierta cantidad de centímetros. ¿Cuántos metros representan 3.5 cm?
1/1000= 3.5/X
X= 3.5 (1000) /1
X= 3500 metros
Si queremos saber cuántos kilómetros representan 10 cm considerando la referencia anterior obtenemos que:
1cm / 1000 m = 10 cm / x metrosX = 1000 (10) / 1
X= 10 000 metros
Sustituyendo el valor de X en el planteamiento nos queda:
1 cm / 1000 m = 10 cm / 10 000 m
Obteniendo el producto de los medios y de los extremos:
1 ( 10000 ) = 10 ( 1000 )
10 000 = 10 000
En este ejemplo hay proporcionalidad.
Realizando la conversión metros a kilómetros obtenemos que:
1Km = 1000 m
X = 10 000 m
1 km / 1000 metros = X km / 10000 metros
1 Km ( 10000 metros) / 1000 metros = 10 kilómetros.
X = 10 kilómetros
La constante de proporcionalidad es el cociente de la razón de dos cantidades.
Ejemplo: Observemos que el médico toma la muñeca del paciente, mira el reloj y dice: “Usted tiene 72 pulsaciones por minuto”. Pero el médico lo hizo tan rápido que estoy seguro de que no pasó ni siquiera medio minuto. ¿Qué calculo hizo el médico para poder das las pulsaciones en menos de medio minuto?
Respuesta: Contó las pulsaciones de ¼ de minuto y el resultado lo multiplicó por cuatro para completar un minuto.
| PULSACIONES | TIEMPO |
| 18 | 15 SEG |
| 36 | 30 SEG |
| 54 | 45 SEG. |
| 72 | 60 SEG. |
Expresemos la razón, en este caso las pulsaciones dependen del tiempo.
18 pulsaciones / 15 segundos = X pulsaciones / 60 segundos18 pulsaciones ( 60 segundos) / 15 segundos = X pulsaciones
X= 1080 / 15= 72 pulsaciones
Comprobando si existe proporcionalidad tenemos que:
18 pulsaciones / 15 segundos = 72 pulsaciones / 60 segundos
18 pulsaciones ( 60 segundos) = 72 pulsaciones ( 15 segundos)
1080 pulsaciones por segundo = 1080 pulsaciones por segundo
Calculando la constante de proporcionalidad
| PULSACIONES | TIEMPO | PULSACIONES / TIEMPO | CONSTANTE DE PROPORCIONALIDAD |
| 18 | 15 SEG | 18 / 15 | 1.2 |
| 36 | 30 SEG | 36 / 30 | 1.2 |
| 54 | 45 SEG | 54 / 45 | 1.2 |
| 72 | 60 SEG | 72 / 60 | 1.2 |
Cuando hay proporcionalidad directa entre dos cantidades, al dividir una entre la otra siempre da el mismo número. En el caso de las pulsaciones (P) y el tiempo ( t) tenemos que:
P/t = 18 / 151.2 es la constante de proporcionalidad en este caso.
De esta forma conociendo el número de pulsaciones podemos obtener inmediatamente el tiempo e inversamente.
Estos son los antecedentes bases para la enseñanza- aprendizaje de la proporcionalidad directa.
En la enseñanza-aprendizaje de la noción de proporcionalidad directa en el cuarto de primaria de educación básica se inicia con la lección 2 EL MERCADO
METODOLOGÍA DIDÁCTICA DE PROPORCIONALIDAD DIRECTA
| ASIGNATURA: MATEMÁTICAS BLOQUE I | Competencias: Resolver problemas de manera autónoma, comunicar información matemática, manejar técnicas eficientemente. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| APRENDIZAJES ESPERADOS: Que el alumno Identifique conjuntos de cantidades que varían proporcionalmente y sepan calcular valores faltantes y porcentajes en diversos contextos. Utilicen de manera flexible el cálculo mental, la estimación de resultados y las operaciones escritas con números naturales, fraccionarios y decimales, para resolver problemas aditivos o multiplicativos. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| Conocimientos previos: Operaciones básicas, el kilogramo = 1 000 grs. ( ½, ¼, ¾), | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| FECHA | TEMA | CONTENIDO | EJE | SECUENCIAS DIDÁCITICAS | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| | El kilogramo como unidad de medida. Elaboración de tablas de variación proporcional directa. Resolución de problemas sencillos, a partir de la información que aporta una ilustración | Procesos de cambio Problemas sencillos que introduzcan al alumno a la elaboración de tablas de variación proporcional. | Manejo de la información. | Se inicia la sesión preguntando al alumno si van al mercado, a la tienda o a las tortillas, qué si han observado cuando su mamá pide un kilo de jitomate o limones, qué si han ido a la tienda a comprar ½ kilo de azúcar, etc. O a las tortillas por kilo y medio, menos o más. Plantear el siguiente problema: Juan fue a la tienda a comprar un kilo de azúcar el cuál cuesta $ 14.00 si paga con un billete de $50.00, ¿Cuánto le regresaron de cambio? Dejar que el alumno realice sus cálculos y después sugerir la siguiente tabla.
Construir otra tabla de variación proporcional para llegar al precio de 10 grs. de azúcar. Pedir que observen que pasa con las cantidades y siguieran formas de cálculo.
Pedir a los alumnos formen equipos de 4 integrantes y escriban un problema que se resuelva construyendo una tabla de proporcionalidad. | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
[1] MARTÍ, Eduardo. Comprensión matemática: Forma y significado. En La resolución de problemas en matemáticas. Claves para la iniciación educativa 12. Ed. GRAO, Barcelona, 2007. Pág.17
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